Autres tests. Difficultés à définir une modélisation

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  68,3% des valeurs sont comprises μ - σ et μ + σ.
  
  

  Graphique 1
  68,3% des valeurs sont comprises μ - σ et μ + σ.
  
  

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  95,4% des valeurs sont comprises μ - 2 σ et μ + 2 σ.
  
  

  Graphique 2
  95,4% des valeurs sont comprises μ - 2 σ et μ + 2 σ.
  
  

Dans le cas présent, il est préférable de prendre la médiane comme moyenne. En ce qui concerne l'écart-type σ, c'est un peu plus compliqué. Si on utilise les méthodes de calcul usuelles sur les séries statistiques, le calcul de l'écart-type commence par celui de la variance (moyenne du carré des écarts). L'écart-type correspond à la racine carrée de la variance. Mais ici, cette méthode ne peut être appliquée, car pour qu'elle le soit, il faudrait que l'on connaisse la date exacte de chaque monument. Et c'est justement ce que l'on cherche à évaluer.

Nous avons cependant pensé que l'on pouvait trouver un ajustement entre les deux informations : celle évoquée dans l'annexe 3 et l'annexe 4 de la page préédente, utilisant les pourcentages d'édifices d'un type donné, permettant un encadrement entre deux dates de ce type d'église, et celle évoquée ci-dessus. En fait, pour la première on encadre une classe C_i entre deux dates, d_i-1 et d_i. Le diamètre de cette classe est Diam_i = d_i- d_i-1. Or si l'on utilise la seconde information donnée ci-dessus, il y a 95,4 % de chances pour que le diamètre corresponde à 4σ_i.

Notre idée première a donc été de prendre pour σ_i la valeur Diam_i /4. On peut donc penser qu'il y a plus de 95 chances sur 100 que les valeurs soient comprises entre les bornes μ_i - 2σ_i et μ_i + 2σ_i .

La courbe représentative f_i d'une classe C_i est une courbe en cloche. Mais elle est asymétrique, car il faut tenir compte du fait que le sommet de la courbe (valeur maximum) est situé non pour la moyenne, mais pour la médiane.

Nous avons tenté dans une première approche de définir f_i(x) comme produit par (1+t)^x de la valeur en x de la loi gaussienne, c'est à dire par une expression de la forme
y = f_i (x) = K_i . exp ( - (x - μ_i)²/(2 σ_i²) . (1+t)^x. Mais les simulations réalisées par Alain Le Stang en utilisant le logiciel Maple se sont avérées très décevantes. Malgré ces tâtonnements, on a pu progresser, pour aboutir à une expression beaucoup plus satisfaisante. C'est souvent ainsi que la science avance !
Cette expression de la fonction f_i associée à cette courbe sur [d_i-1 , d_i] est de la forme : que l'on multipliera par un coefficient K_i bien choisi. Dans la littérature mathématique, on parle de l'expression de y comme d'un noyau gaussien_i.

La valeur T (taux d'augmentation par siècle) est donnée dès l'origine. On en déduit t (taux d'augmentation par an). Les valeurs de μ et σ viennent d'être données. Il reste à calculer la valeur de K_i.

En résumé : La courbe en cloche pour la classe C_i aura pour équation y = f_i (x) = K_i exp ( - (x - μ_i )²/(2 σ_i ²) avec μ_i = Med_i et σ_i = Diam_i/4 = (d_i - d_i-1)/4.

L'idée alors est de tracer les deux courbes, celle de la fonction croissante et celle de la courbe en cloche représentative de C_i sur un même graphique, avec des couleurs différentes. Puis après tracer la courbe de la fonction croissante et toutes les courbes en cloche associées aux classes C₁, C₂, ... ,C_n.
L'idée finale est de tracer la courbe de la fonction croissante et la courbe de la somme des fonctions f₁+f₂ +...+f_n.


Nouveaux tests. Autres déceptions

Après des premiers tests un peu décevants, nous avons estimé qu'il était nécessaire de prendre en compte des constructions estimées comme romanes (donc postérieures à l'an mille). En effet, l'étude que nous avions faites portait sur les nefs triples à piliers rectangulaires. Or, au cours du premier millénaire, on n'avait pas construit que des nefs triples à piliers rectangulaires. On avait pu construire des églises à nef unique, des nefs triples à piliers cylindriques, des transepts, de nouveaux chevets. Nous avons donc décidé de reprendre les expériences à partir du même échantillon de 161 monuments. Mais en prenant cette fois-ci 5 classes :

C₁ : nefs à piliers R0000 ou C0000 ou M0000.

C₁ : nefs à piliers R1010 ou M1010.

C3 : nefs à piliers R1110.

C4 : nefs à piliers R1010 ou (M0000 et galeries supérieures).

C5 : parties romanes (voûtes, transepts, ouvrage Ouest, …).

Nous avons choisi pour taux d'augmentation 30% par siècle et pour bornes de l'intervalle d'étude 500 et 1150.

Le graphique 3 représente la simulation effectuée par Alain Le Stang en utilisant le logiciel Maple, avec K_i = g(d_i)/f(μ_i) et les données :
T = 30, DI = 500, DS = 1150, n = 5, [e1,e2,e3,e4,e5] = [35,13.5,3,8,40.5], σ_i = Diam_i/4.

On peut y lire, dans les 5 premiers cadres, le graphique rassemblant les deux courbes, celle de la fonction croissante, g, et celle de la fonction f_i, de la courbe en cloche associée à la classe C_i, avec des couleurs différentes : g(x)=(1+t)^x en rouge, f_i(x) = K_i exp ( - (x - μ_i )²/(2 σ_i ²) en bleu, la portion en gras correspondant à l'intervalle restreint
[d_i-1 , d_i]. La fonction représentée dans le dernier cadre est la somme des fonctions gaussiennes f₁+f₂ +...+f_n en violet.

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  Courbes gaussiennes et leur somme sur l'intervalle [400, 1200] avec les données :
  T = 30, DI = 500, DS = 1150, n = 5, [e1,e2,e3,e4,e5] = [35,13.5,3,8,40.5], σ_i = Diam_i/4.
  
  

  Graphique 3
  Courbes gaussiennes et leur somme sur l'intervalle [400, 1200] avec les données :
  T = 30, DI = 500, DS = 1150, n = 5, [e1,e2,e3,e4,e5] = [35,13.5,3,8,40.5], σ_i = Diam_i/4.
  
  

Les résultats obtenus apparaissent à première vue un peu décevants, Le dernier des six graphes expose deux courbes. La courbe théorique de la fonction puissance g, en rouge, et la courbe théorique de la somme des fonctions, f1+f2+f3+f4+f5, en violet. Ces deux courbes devraient normalement s'approcher. Or leur proximité n'apparaît pas immédiatement.


La divergence des courbes aux bornes des intervalles

Il est tout à fait normal que les deux courbes se détachent aux extrêmes, la courbe de la somme des fonctions se rapprochant de l'horizontale. Cela vient du fait que nous n'avons pas pris en compte les constructions antérieures (romaines) et postérieures (gothiques). Tout comme l'an 2000 dont nous avons vécu le passage, les années 400 et 1150 ne doivent pas être conçues comme des années de grands bouleversements, de changements de systèmes. Les changements se sont effectués progressivement, parfois sans que ceux qui les ont vécus en prennent conscience, hormis les sempiternels regrets : « Autrefois, c'était le bon temps ! ». Si, avant l'an 400, on a construit des monuments romains, on a continué à construire, soit sur des monuments romains, soit de nouveaux monuments de même style que les romains, après l'an 400, en même temps qu'apparaissaient des constructions d'un nouveau style. De même, l'architecture romane a été au fur et à mesure remplacée par l'architecture gothique vers l'an 1150. Mais longtemps après l'an 1200, on a continué à construire dans le roman, tout en connaissant les propriétés caractéristiques de l'architecture gothique (exemple : le style néoroman).

Il serait donc nécessaire de mieux encadrer la distribution en indiquant les courbes associées aux monuments romains et aux monuments gothiques. C'est cependant difficile à réaliser dans le cadre de l'étude que nous avons faite. Lorsque nous avons démarré notre site, nous avons écarté d'emblée l'étude des monuments romains, estimant, à tort, que cette étude avait été faite auparavant et qu'il n'était pas nécessaire de la reprendre. De même, nous pensions qu'il était inutile de reprendre l'étude des monuments postérieurs à l'an 1100. En conséquence, l'inventaire exhaustif des monuments antérieurs à l'an 400 et postérieurs à l'an 1100 n'a pas été entrepris. Il faudra cependant effectuer une estimation des bornes : fin du romain, début du gothique.


Les pics de fluctuation

Revenons au graphique 3. Si la pente de la courbe représentative de la fonction g apparaît faible et régulière sur l'intervalle [400, 1150], il n'en est pas de même des pentes des courbes représentatives des fonctions f2, f3, f4. Le résultat obtenu pour la courbe de la somme des fonctions est très différent de celui de la courbe g avec des fluctuations beaucoup trop importantes. Est-il possible que nous nous soyons trompés ? Pourtant, nous n'avons pas a priori fait d'erreur. Tout semble en accord avec la théorie des fonctions gaussiennes. Mais il ne faut pas oublier un point qui a priori semble être de détail. Nous avons basé toute notre étude sur les hypothèses suivantes : un taux d'accroissement de 30% par siècle, un intervalle d'étude [500, 1150], une partition en 5 classes d'effectifs respectifs 35, 13.5, 3, 8, 40.5 (en pourcentages). Si on change un seul de ces paramètres, on modifie les résultats. C'est ce que nous avons essayé de faire avec la valeur 400.

Dans le tableau 4 ci-dessous, la première ligne correspond à la situation modélisée ci-dessus. Pour la deuxième ligne, on a remplacé la valeur 500 par 400. Parmi les colonnes du tableau donnant les résultats, nous n'avons conservé que celles relatives aux  classes C1 et C2. Les valeurs des colonnes intitulées Diam C1 et Diam C2 définissent dans chaque cas les valeurs de 4σ1 et de 4σ2. En conséquence, si on suit la loi normale, les intervalles de confiance obtenus en retranchant ou en ajoutant la valeur de 2σ_i à la médiane doivent normalement contenir 95,4% des effectifs.

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  Deux modélisations des données avec le taux T=30%.
  
  

  Tableau 4
  Deux modélisations des données avec le taux T=30%.

Or que constate-t-on ? Pour la classe C1, la médiane est 722 pour la première situation et 679 pour la seconde situation. Soit une différence de 43, non négligeable par rapport à la moyenne des valeurs de σ : 100. Mais c'est encore plus le cas pour la classe C2 : la médiane est 903 pour la première situation et 885 pour la seconde situation. Soit une différence de 18, presque égale à la moyenne des valeurs de σ : 21,25. Et le calcul pour la classe C3 nous fait découvrir un écart entre les médianes 3,5 fois plus grand que la moyenne des σ correspondants.

Nous devons conclure de cette petite expérience que l'écart par rapport à la médiane doit être réexaminé. En effet la valeur de σ correspond à l'écart-type. D'après la loi normale, plus de 95% des valeurs sont comprises entre μ - 2 σ et μ + 2 σ. Dans le cas de la classe C3, en prenant une médiane, l'autre est extérieure à l'intervalle de confiance avec une probabilité supérieure à 95%. Et ce pour une modification relativement négligeable compte tenu des approximations que nous faisons : 400 au lieu de 500.

On a amélioré les résultats du graphique 3 en multipliant chaque noyau gaussien par un coefficient K_i , les K_i étant calculés pour que la somme des K_i.f_i(μ_i), pour i allant de 1 à n = 5,  égale g(μ_i), avec g(x) = (1+t)^x sur l'intervalle [d_i-1 , d_i].
C'est ce que l'on constate sur le graphique 5 ci-dessous, pour les valeurs de σ_i, respectivement σ_i = (d_i - d_i-1)/4, σ_i= (d_i - d_i-1)/3, σ_i = (d_i - d_i-1)/2, de gauche à droite.

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  Sommes de gaussiennes sur l'intervalle [400, 1200] avec σ_i = Diam_i/4, σ_ii = Diam_i/3, σ_i = Diam_i/2
  et les données : T = 30, DI = 500, DS = 1150, n = 5, [e1,e2,e3,e4,e5] = [35,13.5,3,8,40.5].
  
  

  Graphique 5
  Sommes de gaussiennes sur l'intervalle [400, 1200] avec σ_i = Diam_i/4, σ_ii = Diam_i/3, σ_i = Diam_i/2 et les données :
  T = 30, DI = 500, DS = 1150, n = 5, [e1,e2,e3,e4,e5] = [35,13.5,3,8,40.5].
  

Signalons également le modèle de mixture de gaussiennes généralisées (MGG), où le noyau gaussien utilisé est de la forme .
La présence du coefficient , au dénominateur du quotient situé à l'intérieur de l'exponentielle, permet à la fonction f₁+f₂ +...+f_n de mieux approcher la fonction g. 
Nous le constatons sur le graphique 6, où l'on voit le résultat de la simulation obtenue par Maple en programmant ce modèle, avec les mêmes données que pour le graphique 5 et σ_i = (d_i - d_i-1)/3. En comparant avec le résultat du cadre au centre du graphique 5, on a une meilleure approximation de g.

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  Somme de gaussiennes sur l'intervalle [400, 1200] avec le modèle MGG et les données :
  T = 30, DI = 500, DS = 1150, n = 5, [e1,e2,e3,e4,e5] = [35,13.5,3,8,40.5], σ_i = Diam_i/3.
  
  

  Graphique 6
  Somme de gaussiennes sur l'intervalle [400, 1200]
  avec le modèle MGG et les données : T = 30, DI = 500, DS = 1150,
  n = 5, [e1,e2,e3,e4,e5] = [35,13.5,3,8,40.5], σ_i = Diam_i/3.
  

Modulation de la valeur de σ_i

Nouvelle idée : moduler la valeur de σ_i en fonction du diamètre (d_i - d_i-1) de la classe C_i.
Nous avons choisi σ_i = (d_i - d_i-1)/4, que nous conserverons pour un grand diamètre, comme celui de C1.
Pour un diamètre moyen comme celui de C5, prendre par exemple σ_i = (d_i - d_i-1)/3.
Pour un diamètre petit comme celui de C2, prendre par exemple σ_i = (d_i - d_i-1)/2.
Pour un diamètre très petit, comme celui de C3 et C4, prendre par exemple σ_i = (d_i - d_i-1).
En augmentant ainsi la valeur de σ_i, on obtient des courbes aux pentes moins accentuées, de formes plus évasées. En compensation, les amplitudes sont moins fortes.

On améliore ainsi les résultats du graphique 3. C'est ce que l'on constate sur le graphique 7 ci-dessous, pour les valeurs de σ_i, respectivement σ₁ = (d₁- d₀)/4,
σ₂ = (d₂ - d₁)/2, σ₃ = (d₃ - d₂), σ₄ = (d₄ - d₃) et σ₅ = (d₅ - d₄)/3.

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  Courbes gaussiennes et leur somme sur l'intervalle [400, 1200] avec les données précédentes des σ_i et :
  T = 30, DI = 500, DS = 1150, n = 5, [e1,e2,e3,e4,e5] = [35,13.5,3,8,40.5].
  
  

  Graphique 7
  Courbes gaussiennes et leur somme sur l'intervalle [400, 1200] avec les données précédentes des σ_i et :
  T = 30, DI = 500, DS = 1150, n = 5, [e1,e2,e3,e4,e5] = [35,13.5,3,8,40.5].
  
  

Autre idée : moduler la valeur de σ_i en fonction de l'effectif de la classe C_i.
Pour un grand effectif comme celui de C1 et C5, prendre par exemple σ_i = (d_i - d_i-1)/2.
Pour un effectif moyen comme celui de C2, prendre par exemple σ_i = (d_i - d_i-1).
Pour un effectif petit comme celui de C4, prendre par exemple σ_i = 2 (d_i - d_i-1).
Pour un effectif très petit comme celui de C3, prendre par exemple σ_i = 4 (d_i - d_i-1).

On améliore ainsi les résultats du graphique 7. C'est ce que l'on constate sur le graphique 8 ci-dessous, pour les valeurs de σ_i, respectivement σ₁ = (d₁- d₀)/2,
σ₂ = (d₂ - d₁), σ₃ = 4 (d₃ - d₂), σ₄ = 2 (d₄ - d₃) et σ₅ = (d₅ - d₄)/2.

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  Somme de gaussiennes sur l'intervalle [400, 1200] avec avec les données précédentes des σ_i et :
  T = 30, DI = 500, DS = 1150, n = 5, [e1,e2,e3,e4,e5] = [35,13.5,3,8,40.5].
  
  

  Graphique 8
  Somme de gaussiennes sur l'intervalle [400, 1200]
  avec les données précédentes des σ_i et T = 30, DI = 500, DS = 1150,
  n = 5, [e1,e2,e3,e4,e5] = [35,13.5,3,8,40.5].
  

L'utilisation du modèle de mixture de gaussiennes généralisées (MGG) donne un résultat encore meilleur, l'approximation de la courbe de g par la somme des gaussiennes étant encore plus satisfaisante (graphique 9).

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  Somme de gaussiennes sur l'intervalle [400, 1200] avec le modèle MGG, les données précédentes des σ_i et : T = 30, DI = 500, DS = 1150, n = 5, [e1,e2,e3,e4,e5] = [35,13.5,3,8,40.5]..
  
  

  Graphique 9
  Somme de gaussiennes sur l'intervalle [400, 1200]
  avec le modèle MGG, les données précédentes des σ_i et :
  T = 30, DI = 500, DS = 1150, n = 5,
  [e1,e2,e3,e4,e5] = [35,13.5,3,8,40.5].
  

Conséquences de cette recherche en datation

Conséquence 1 : Abandon d'une datation au siècle

Cette recherche nous a conduit à une remise en question de notre mode de raisonnement en matière de datation. Un mode de raisonnement qui n'est pas seulement le nôtre,mais celui de toute la communauté des historiens et, par transfert, de la communauté des humains. Nous raisonnons en termes de siècles. Dès la Renaissance italienne, ont été définies des périodes comme le Trecento (XIV^e Siècle) ou le Quattrocento (XV^e Siècle). Ces périodes apparaissaient étanches et cloisonnées. Ainsi, un peintre du Trecento ne pouvait pas aussi faire partie du Quattrocento alors qu'il pouvait avoir vécu sur les deux périodes. Et consciemment ou non, la grande majorité des chercheurs avaient intégré le système. C'est en tout cas ce que nous avons constaté en ce qui concerne la datation des monuments. Comme l'art roman était défini comme étant du XI^e ou du XII^e siècle, une église romane ne pouvait pas être antérieure à l'an mille. Et ce, même si un document mentionnait son existence en l'an 980.

Notre recherche nous a amené à utiliser des fonctions gaussiennes, à employer des termes comme moyenne et écart-type. Montrons ici la différence entre les deux conceptions. Dans la conception traditionnelle, le XII^e siècle correspond à l'intervalle temporel fixé [1100, 1199 ]. Dans la nouvelle conception, on peut parler de l'an 1150 avec un écart de 50 ans. Cela semble la même chose mais c'est différent dans la mesure où l'on peut envisager un franchissement des bornes 1100 ou 1199 : ces bornes ne sont pas rigides. En fait, l'idéal serait de donner les informations sous la forme : an 1150 avec un écart-type de 25 ans. Mais il faudrait être en présence d'un public averti qui connaît la loi normale et interprète ainsi l'information : il y a plus de 68% de chances que la date soit comprise entre 1125 et 1175, et plus de 95% de chances qu'elle soit comprise entre 1100 et 1200. Nous n'en sommes pas encore là !

Cependant, cette façon de procéder peut permettre de mieux centrer l'information. Ainsi, il nous est arrivé de rencontrer des datations telles que, « église du XII^e siècle »,
« église de la première moitié du XII^e siècle », « église du deuxième quart du XII^e siècle », donnant l'impression d'une plus grande précision avec des intervalles de confiance de 100 ans pour la première, de 50 ans pour la seconde, et de 25 ans pour la troisième. Une plus grande précision qui s'avère, en absence de preuves solides, parfaitement ridicule dans le troisième cas (on a tendance à dire dans ce cas : « qu'il commence par dater avec une telle précision les immeubles du XIX^e ou XX^e siècle de la ville voisine ! »). Il est cependant possible que l'évaluateur ait estimé que dans le premier cas, la date devait être aux alentours de 1150, dans le second cas de 1125, et dans le troisième cas de 1137. En utilisant pour chacune des dates le même écart, par exemple 50 ans, l'évaluateur peut sans problème éviter l'écueil évoqué ci-dessus en donnant comme datation dans le premier cas « an 1150 avec un écart de 50 ans », dans le second cas « an 1125 avec un écart de 50 ans », et dans le troisième cas « an 1137 avec un écart de 50 ans ».


Conséquence 2 :  Adoption d'une datation centrée au quart de siècle (pour les monuments du premier millénaire)

En histoire ancienne, la datation d'un événement est en général très imprécise. C'est déjà vrai dans le cas de la vie de personnages célèbres (quelle est la date de naissance de Jésus-Christ ?). Ce l'est encore plus en ce qui concerne les constructions. À cela s'ajoute le fait qu'une construction s'étale dans le temps, entre l'élaboration du projet et l'inauguration du bâtiment. En conséquence, la datation d'une construction au jour près ou même au mois près n'a aucune signification, et ce, même si on dispose de documents écrits mentionnant la date exacte au jour près d'un événement, comme la pose de la première pierre ou l'inauguration du bâtiment ; plusieurs années peuvent s'écouler entre ces deux moments.

Et, dans le cas le plus général, on ne dispose d'aucun document écrit. On ne peut dater le monument que par son style, en le comparant à d'autres monuments qui sont eux datés. Dans ces conditions, une datation à l'année est non seulement inutile, mais nuisible, dans la mesure où elle empêche une vision d'ensemble. C'est pour cela que nous envisageons une datation au quart de siècle, tant pour la date que pour l'incertitude par rapport à cete date. Ainsi, en ce qui concerne la série précédente, on donnera pour la classe :

C1 (de médiane = 722 et diamètre/2 = 180) : an 725 avec un écart de 175 ans.
C2 (de médiane = 903 et diamètre/2 = 40) : an 900 avec un écart de 50 ans.
C3 (de médiane = 950 et diamètre/2 = 8) : an 950 avec un écart de 25 ans.
C4 (de médiane = 978 et diamètre/2 = 20) : an 975 avec un écart de 25 ans.
C5 (de médiane = 1083 et diamètre/2 = 76) : an 1075 avec un écart de 75 ans.

En fait, compte tenu de ce qui a été écrit précédemment, il est préférable de prendre des écarts plus importants pour C2, C3 et C4 : au moins 50, voire même 75.


Conséquence 3 : Adoption d'une classification en groupes et sous-groupes

Notre recherche en datation a débuté par l'essai d'identification de marqueurs chronologiques. Nous en avons trouvé en ce qui concerne les églises à nefs triples et piliers rectangulaires et nous avons petit à petit envisagé la chronologie (R0000, R1010, R1110, R1111) permettant de classer ces églises. Mais, toujours petit à petit, nous avons réalisé que ce type de classification n'était pas transposable aux édifices à piliers cylindriques (presque tous de type C0000) ou aux nefs uniques. C'est-à-dire à la totalité des constructions. Nous nous sommes aussi aperçus que, concernant les nefs à piliers rectangulaires, les séries n'étaient pas équilibrées : il y a beaucoup plus de nefs à piliers R0000 que de nefs à piliers R1110. Et ce déséquilibre a été source des difficultés signalées ci-dessus.

Nous pensons qu'il faut en revenir à l'exemple qui nous est donné par l'analyse stratigraphique géologique. Nous avons appris sur les banc scolaires qu'il y avait quatre périodes géologiques : le primaire, le secondaire, le tertiaire et le quaternaire. Plus tard, nous avons appris que chacune de ces périodes pouvait être divisée en plusieurs sous-périodes. Ainsi, pour le secondaire : le trias, le jurassique et le crétacé. Et on peut encore faire des sous-périodes de sous-périodes. Ainsi pour le Crétacé, le Crétacé Supérieur et le Crétacé Inférieur. Et à l'intérieur du Crétacé Supérieur, on a encore six sous-périodes : le Maastrichien, le Campanien, le Santonien, la Coniacien, le Turonien, le Cénomanien. Et ainsi de suite.

Nous envisageons donc d'orienter la réflexion dans ce sens en commençant par partager la période [1, 1200] en quatre parties : le romain, le romain tardif, le préroman, le roman. Puis une fois cela réalisé, essayer de partager chacune de ces parties en trois ou quatre sous-groupes.